Question

4．已知集合A={x|3≤3^x≤27}，B={x|log₂x＞1}．
（1）求A∩（∁_RB）；
（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C∩A=C，求实数a的取值集合．

Answer 1

分析 （1）由指数函数、对数函数的单调性分别求出集合A、B，由补集的运算求出∁_RB，由交集的运算求出A∩（∁_RB）；
（2）由C∩A=C得C⊆A，根据条件对a分类讨论，分别由子集的定义求出a的范围，最后并在一起求出实数a的取值集合．

解答 解：（1）集合A={x|3≤3^x≤27}={x|3≤3^x≤3³}={x|1≤x≤3}，
B={x|log₂x＞1}={x|log₂x＞${log}_{2}^{2}$}={x|x＞2}，
∴∁_RB={x|x≤2}，
∴A∩（∁_RB）={x|1≤x≤2}；
（2）∵C∩A=C，∴C⊆A，
①当a≤1时，C=∅，此时C⊆A；
②当a＞1时，集合C={x|1＜x＜a}，C⊆A，
则1＜a≤3，
综上可得，实数a的取值集合是（-∞，3]．

点评 本题考查交、并、补集的混合运算，子集的定义，以及指数函数、对数函数的单调性，考查分类讨论思想．