Question

11．求使下列函数取得最大值的自变量x的集合．并写出最大值是什么；同时指出函数图象的对称轴和对称中心．
 （1）y=cos$\frac{x}{3}$；
（2）y=2-sin2x．

Answer 1

分析 由三角函数的周期性和图象，结合图象可得．

解答 解：（1）由$\frac{x}{3}$=2kπ可得x=6kπ，k∈Z，
∴y=cos$\frac{x}{3}$取得最大值的自变量x的集合为{x|x=6kπ，k∈Z}，最大值为1；
令$\frac{x}{3}$=kπ可得x=3kπ，k∈Z，故函数图象的对称轴为x=3kπ，k∈Z；
令$\frac{x}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=3kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，故函数图象的对称中心为（3kπ+$\frac{3π}{2}$，0）k∈Z；
（1）由2x=2kπ-$\frac{π}{2}$可得x=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z，
∴y=2-sin2x取得最大值的自变量x的集合为{x|x=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z}，最大值为3；
令2x=kπ+$\frac{π}{2}$可得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z，故函数图象的对称轴为x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z；
令2x=kπ可得x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，故函数图象的对称中心为（$\frac{kπ}{2}$，2）k∈Z．

点评 本题考查正余弦函数的最值和对称性，数形结合是解决问题的关键，属基础题．