Question

12．已知$\overrightarrow{OP}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{OQ}$=（1+sinθ，1+cosθ），且0≤θ≤π．
（1）求$\overrightarrow{PQ}$模的最大值，并求出当|$\overrightarrow{PQ}$|取最大值时θ的值；
（2）当|$\overrightarrow{PQ}$|取最大值时，求$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$的夹角φ（用反三角函数表示）．

Answer 1

分析 （1）由已知$\overrightarrow{OP}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{OQ}$=（1+sinθ，1+cosθ）（θ∈[0，π]），利用向量的模用坐标表示的式子写出关于角θ的三角函数式，即可求解$\overrightarrow{PQ}$模的最大值，并求出当|$\overrightarrow{PQ}$|取最大值时θ的值；
（2）把（1）中所求的θ值代入$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$，然后利用向量数量积公式求夹角．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OP}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{OQ}$=（1+sinθ，1+cosθ），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（1-cosθ+sinθ，1+cosθ-sinθ）=（$2si{n}^{2}\frac{θ}{2}+2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}$，$2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}$）
=（2sin$\frac{θ}{2}（sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}）$，2cos$\frac{θ}{2}（cos\frac{θ}{2}-sin\frac{θ}{2}）$），
∴$|\overrightarrow{PQ}{|}^{2}$=$4si{n}^{2}\frac{θ}{2}$（1+sinθ）+$4co{s}^{2}\frac{θ}{2}$（1-sinθ）
=2（1-cosθ）（1+sinθ）+2（1+cosθ）（1-sinθ）
=2（2-sin2θ）（θ∈[0，π]），
∴$|\overrightarrow{PQ}{|}^{2}$的最大值为6，即|$\overrightarrow{PQ}$|的最大值为$\sqrt{6}$，此时sin2θ=-1，即2$θ=\frac{3}{2}π$，$θ=\frac{3π}{4}$；
（2）由（1）知，当|$\overrightarrow{PQ}$|取最大值时，$θ=\frac{3π}{4}$，
此时$\overrightarrow{OP}$=（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{OQ}$=（$1+\frac{\sqrt{2}}{2}，1-\frac{\sqrt{2}}{2}$），
$|\overrightarrow{OP}|=1，|\overrightarrow{OQ}|=\sqrt{（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）+\frac{\sqrt{2}}{2}（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=-1．
∴cosφ=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴φ=$arccos（-\frac{\sqrt{3}}{3}）$=$π-arccos\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了利用向量的坐标求向量的模，训练了利用向量求夹角，是中档题．