解法一:
(Ⅰ)∵
C1E⊥平面
BDE,
在正四棱柱
ABCD—
A1B1C1D1中,
AB=1,
AA1=2,
∴
BC1=,
A1C1=.
设
AE=
x,则
BE=,
C1E=,
∵
BC=
BE2+
C1E2,∴5=1+
x2+2+(2-
x)
2,解得
x=1.……………………3分
连结
D1E,由
DE=
EB=
BD=,得
S△BDE=
DE2=,
S△
DD1E=
DD1·
AD=
1,
设点
D1到平面
BDE的距离为
h,则由
VD1—
BDE=
VB—
DD1E,
得·
h=·1·1,
h=.
设直线
BD1与平面
BDE所成的角为
θ,
因
BD1=,则sin
θ==.………………………………………………6分
(Ⅱ)分别取
BE、
CE的中点
M、
N,则
MN∥
BC,且
MN=
AB=.
∵
BC⊥平面
ABB1A1,
BEÌ平面
ABB1A1,∴
BC⊥
BE,∴
MN⊥
BE.
∵
BE=
BD=
DE=,∴
DM⊥
BE,且
DM=,
∴∠
DMN为二面角
C-
BE-
D的平面角.…………………………………………9分
又
DN=
EC=,
∴cos∠
DMN==.…………
………………………………12分
解法二:
(Ⅰ)建立如图所示的坐标系
D—
xyz,
其中
D(0,0,0),
B(1,1,0),
C(0,1,0),
D1(0,0,2),
C1(0,1,2).设
E(1,0,
a),则
=(-1,1,2-
a),=(1,1,0),=(1,0,
a),
∵
C1E⊥平面
BDE,∴⊥,
∴·=-1+(2-
a)
a=0,解得
a=1.……………………………………3分
∴=(-1,1,1).
设直线
BD1与平面
BDE所成的角为
θ,
因=(1,1,-2),则sin
θ=|\o(D1B,\s\up5(→EC1,\s\up5(→=.……………………………6分
(Ⅱ)由
(Ⅰ),=(-1,1,1)为面
BDE的法向量,
设
n=(
x,
y,
z)为面
CBE的法向量,
∵=(1,0,0),=(0,-1,1),
∴
n·=0,
n·=0,
∴
x=0,-
y+
z=0,取
n=(0,1,1),…………………………………………9分
∴cosá,
nñ=\o(EC1,\s\up5(→________=,
所以二面角
C-
BE-
D的余弦值为.……………………………………………12分