Question

已知函数f(x)=loga

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）当x∈（r，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数r与a的值．

Answer 1

分析：（1）由已知条件得f（-x）+f（x）=0对定义域中的x均成立，化简即m²x²-1=x²-1对定义域中的x均成立，解出m，并代入题目进行检验．
（2）将对数的真数进行常数分离，先判断真数的单调性，再根据底数的范围确定整个对数式得单调性．
（3）由题意知，（r，a-2）是定义域（-∞，-1）∪（1，+∞）的子集，再分（r，a-2）?（-∞，-1）、
（r，a-2）?（1，+∞）两种情况，分别根据函数的单调性和值域，求得实数r与a的值．

解答：解：（1）由已知条件得f（-x）+f（x）=0对定义域中的x均成立．
所以loga

mx+1

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0，即

mx+1

-x-1

•

1-mx

x-1

=1，
即m²x²-1=x²-1对定义域中的x均成立．
所以m²=1，即m=1（舍去）或m=-1．
（2）由（1）得f(x)=loga

1+x

x-1

，
设t=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

，
当x₁＞x₂＞1时，t1-t2=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

，所以t₁＜t₂．
当a＞1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．所以当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）因为函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
所以①：r＜a-2＜-1，0＜a＜1．
所以f（x）在（r，a-2）为增函数，要使值域为（1，+∞），则

loga 1+r r-1 =1 a-2=-1

（无解）
②：1＜r＜a-2，所以a＞3．所以f（x）在（r，a-2）为减函数，要使f（x）的值域为（1，+∞），
则

r=1 loga a-1 a-3 =1

，所以a=2+

3

，r=1．

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及函数的特殊点，属于中档题．