Question

已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且C的焦点到其渐近线的距离为，过点E（1，0）且倾斜角为锐角的直线l交C于A、B两点．
（I）求双曲线C的方程；
（II）若，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

解：（I）由焦点（ c，0）到渐近线bx-ay=0 的距离为，
得=，b=．
∵两条渐近线互相垂直，∴a=b=，
∴双曲线C的方程为 x²-y²=2．
（II）设直线l y=k（x-1），A（ x₁，y₁），B （ x₂，y₂），
由 得（1-k²）y²+2ky-k²=0，∴△=4k²-4（1-k²）（-k²）＞0，
再由倾斜角为锐角知，0＜k＜且 k≠1．
y₁+y₂=，y₁•y₂=，
∵，∴（ x₁-1，y₁）=t（x₂-1，y₂），∴y₁=ty₂．
∴（1+t）y₂=，t y₂²=，消去y₂得 =t++2．
∵1＜t＜3，∴4＜＜，∴＜k²＜2． 又0＜k＜ 且 k≠1，
∴＜k＜，
故直线l斜率的取值范围为（，）．
分析：（I）由焦点（ c，0）到渐近线bx-ay=0 的距离为，求出b，再由两条渐近线互相垂直，求得a=b=，从而得到双曲线C的方程．
（II） 把直线l的方程代入圆的方程，应用判别式大于0及根与系数的关系，结合，得到 =t++2，由t的范围求出的范围，进而得到k的范围．
点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，由t的范围求出的范围，进而得到k的范围，‘是解题的关键和难点．