Question

3．椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1的左、右焦点分别为F₁、F₂，椭圆上的点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，则△PF₁F₂的面积为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 |PF₁|-|PF₂|=2，又|PF₁|+|PF₂|=4，联立解得|PF₁|，|PF₂，在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：cos∠F₁PF₂，进而得到sin∠F₁PF₂=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．利用△PF₁F₂的面积=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin∠F₁PF₂即可得出．

解答 解：∵|PF₁|-|PF₂|=2，又|PF₁|+|PF₂|=4，
联立解得|PF₁|=3，|PF₂|=1，
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：cos∠F₁PF₂=$\frac{{3}^{2}+{1}^{1}-（2\sqrt{2}）^{2}}{2×3×1}$=$\frac{1}{3}$，
∴∠F₁PF₂为锐角，
∴sin∠F₁PF₂=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠{F}_{1}P{F}_{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∴△PF₁F₂的面积=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|sin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}×3×1$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．