Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为.经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点(其中点在轴上方)，的周长为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，把平面沿轴折起来，使轴正半轴和轴确定的半平面，与轴负半轴和轴所确定的半平面互相垂直，若折叠后的周长为，求的大小.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据的周长，结合椭圆的定义可构造方程求得，进而得到椭圆方程；

（2）结合折叠前后的周长可知：，将方程与椭圆方程联立，得到韦达定理的形式，利用弦长公式和空间两点间距离公式表示出，从而构造出关于斜率的方程，求得斜率后即可得到.

（1）设椭圆的标准方程为，

由椭圆定义知：，

的周长，

解得：，，

椭圆的标准方程为.

（2）设在新图形中对应的点为，若，，则，.

，且，，

.

当时，，，不满足题意；

当时，设，代入椭圆方程得：，

，，

，

，

，

，

，

整理可得：，，

，即；

综上所述：.