Question

9．已知函数$f（x）=2sin（ωx+\frac{π}{3}）$，且ω≠0，ω∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象经过点$（\frac{π}{3}\;，2）$，且0＜ω＜3，求ω的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若函数g（x）=mf（x）+n（m＞0），当$x∈[-2π，-\frac{π}{3}]$时，函数g（x）的值域为[-2，1]，求m，n的值；
（Ⅲ）若函数$h（x）=f（x-\frac{π}{3ω}）$在$[-\frac{π}{3}\;，\frac{π}{3}]$上是减函数，求ω的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把点的坐标代入f（x）的解析式，结合ω的取值范围，求出ω的值；
（Ⅱ）根据g（x）的解析式以及g（x）在[-2π，-$\frac{π}{3}$]上的值域，列出方程组，求出m、n的值；
（Ⅲ）求出h（x）的解析式，根据h（x）在$[{-\frac{π}{3}\;，\frac{π}{3}}]$上的单调性，列出不等式组，求出ω的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为函数$f（x）=2sin（{ωx+\frac{π}{3}}）$的图象经过点$（{\frac{π}{3}\;，2}）$，
所以$2sin（{\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}}）=2$，…（1分）
所以$\frac{π}{3}ω+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+2kπ\;，k∈Z$，…（2分）
所以$ω=\frac{1}{2}+6k\;，k∈Z$；
因为0＜ω＜3，所以$0＜\frac{1}{2}+6k\;＜3\;，k∈Z$，
所以k=0，$ω=\frac{1}{2}$；…（3分）
（Ⅱ）因为$ω=\frac{1}{2}$，所以$g（x）=m•2sin（{\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}}）+n$；
因为$-2π≤x≤-\frac{π}{3}$，所以$-\frac{2π}{3}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}≤\frac{π}{6}$；
所以$-1≤sin（{\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}}）≤\frac{1}{2}$，…（4分）
所以-2m+n≤g（x）≤m+n；
因为函数g（x）的值域为[-2，1]，
所以$\left\{\begin{array}{l}-2m+n=-2\;\\ m+n=1.\end{array}\right.$；…（5分）
解得 m=1，n=0；…（6分）
（Ⅲ）因为$h（x）=f（{x-\frac{π}{3ω}}）$，
所以$h（x）=2sin[{ω（{x-\frac{π}{3ω}}）+\frac{π}{3}}]=2sinωx$；…（7分）
因为函数h（x）在$[{-\frac{π}{3}\;，\frac{π}{3}}]$上是减函数，
所以函数h（x）=2sinωx的图象过原点，
且减区间是$[{\frac{π}{2ω}，-\frac{π}{2ω}}]\;，ω＜0$；
所以$\left\{\begin{array}{l}ω＜0\;\\ \frac{π}{2ω}≤-\frac{π}{3}\\-\frac{π}{2ω}＞\frac{π}{3}.\end{array}\right.$；…（8分）
解得 $-\frac{3}{2}≤ω＜0$，
所以ω的取值范围是$-\frac{3}{2}≤ω＜0$．…（9分）

点评 本题考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，也考查了方程与不等式的解法与应用问题，是综合性题目．