Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（0，1）且与x轴有唯一的交点（﹣1，0）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）在（1）的条件下，设函数F（x）=f（x）﹣mx，若F（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围；
（3）设函数g（x）=f（x）﹣kx，x∈[﹣2，2]，记此函数的最小值为h（k），求h（k）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意得c=1， ，b2﹣4ac=0

解得a=1，b=2，c=1，

从而f（x）=x2+2x+1；

（2）解：F（x）=x2+（2﹣m）x+1图象的对称轴为直线 ，图象开口向上，

当 或 ，即m≤﹣2或m≥6时，F（x）在[﹣2，2]上单调，

故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；

（3）解：g（x）=x2+（2﹣k）x+1图象的对称轴为直线 ，图象开口向上

当 ，即k≤﹣2时，F（x）在[﹣2，2]上单调递增，

此时函数F（x）的最小值g（k）=F（﹣2）=2k+1

当 即﹣2＜k≤6时，F（x）在 上递减，在 上递增

此时函数F（x）的最小值 ；

当 即k＞6时，F（x）在[﹣2，2]上单调递减，

此时函数F（x）的最小值g（k）=F（2）=9﹣2k；

综上，函数F（x）的最小值

【解析】（1）依题意得c=1， ，b2﹣4ac=0，解方程组求出a，b，c值，可得f（x）的表达式；（2）函数F（x）=x2+（2﹣m）x+1图象的对称轴为直线 ，图象开口向上，若F（x）在区间[﹣2，2]上是单调函数，则区间在对称轴的一侧，进而得到实数m的取值范围；（3）g（x）=x2+（2﹣k）x+1图象的对称轴为直线 ，图象开口向上，不同情况下g（x）在区间[﹣2，2]上单调性，进而可得函数的最小值为h（k）的解析式．