Question

如图，三棱柱中ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．则直线A₁C与平面A₁AB所成角的正弦值是（　　）

• A、

  21

  7

• B、

  2 7

  7

• C、

  21

  14

• D、

  5 7

  14

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：如图以O为原点，OB，OC，OA₁所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系由题可知A₁A=A₁C=AC=2，求出A₁，C，A，B．求出平面A₁AB的一个法向量，利用cos＜

n

，

A1C

＞=

n• A1C

| A1C ||n|

求解即可．

解答： 解：如图以O为原点，OB，OC，OA₁所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系由题可知A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，OB=

1

2

AC=1，所以A₁（0，0，

3

），C（0，1，0），A（0，-1，0），B（1，0，0）．
所以

A1C

=（0，1，-

3

），

AA1

=（0，1，

3

），

AB

=（1，1，0），
设平面A₁AB的一个法向量为

n

=（x，1，z），
所以

n • AA1 =0 n • AB =0

⇒

1+ 3 z=0 x+1=0

⇒

x=-1 z=- 3 3

所以

n

=（-1，1，-

3

3

），
所以cos＜

n

，

A1C

＞=

n • A1C

| A1C || n |

=

21

7

，
因为直线A₁C与平面A₁AB所成角Q和向量

n

与

A1C

所成锐角互余，所以sinθ=

21

7

．
故选：A．

点评：本题考查直线与平面所成角的求法，考查计算能力．