Question

如图，已知椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D、E两点．

（Ⅰ）若点G的横坐标为，求直线AB的斜率；

（Ⅱ）记△GFD的面积为S₁，△OED（O为原点）的面积为S₂．

试问：是否存在直线AB，使得S₁=S₂？说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．

（Ⅱ）不存在直线，使得 ．        12分

【解析】

试题分析：（Ⅰ）依题意，直线的斜率存在，设其方程为．

将其代入，

整理得 ．

设，，  所以 ．        4分

故点的横坐标为．

依题意，得，

解得 ．           6分

（Ⅱ）解：假设存在直线，使得 ，显然直线不能与轴垂直．

由（Ⅰ）可得 ．

因为 ，所以 ，

解得 ，      即 ．

因为 △∽△，

所以 ．

所以 ，

整理得 ．

因为此方程无解，所以不存在直线，使得 ．        12分

考点：本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算。

点评：中档题，曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题（2）利用弦长公式，确定得到三角形面积表达式，实现对“存在性问题”的研究。