Question

已知向量

a

=(

3

sinωx，cosωx)，

b

=（cosωx，-cosωx），ω＞0，记函数f（x）=

a

•

b

，已知f（x）的最小正周期为

π

2

．
（1）求ω的值；
（2）设△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）利用数量积运算公式、两角和的正弦公式及其周期公式T=

2π

ω

即可得出；
（2）使用余弦定理和基本不等式即可得出x的取值范围，再利用正弦函数的单调性即可得出函数f（x）的值域．

解答：解：（1）函数f（x）=

a

•

b

=

3

sinωxcosωx-cos2ωx
=

3

2

sin(2ωx)-

1+cos(2ωx)

2

=[sin(2ωx)cos

π

6

-cos(2ωx)sin

π

6

]-

1

2

=sin(2ωx-

π

6

)-

1

2

，
∵T=

π

2

，
∴T=

π

2

=

2π

2ω

，解得ω=2．
（2）由（1）可得f（x）=sin(4x-

π

6

)-

1

2

．
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosx，
又∵b²=ac，
∴cosx=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，当且仅当a=c时取等号．
∵x∈（0，π），
∴0＜x≤

π

3

．
∴-

π

6

＜4x-

π

6

≤

7π

6

．
∴-

1

2

≤sin(4x-

π

6

)≤1，
∴-1≤sin(4x-

π

6

)≤

1

2

．
∴函数f（x）的值域为[-

1

2

，

1

2

]．

点评：本题考查了数量积运算公式、两角和的正弦公式、余弦定理和基本不等式和正弦函数的图象与性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．