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18.设数列{an}是首项为1,公比为q(q≠-1)的等比数列,若$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}}\right\}$是等差数列,则$(\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3})+(\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4})+…+(\frac{1}{{{a_{2015}}}}+\frac{1}{{{a_{2016}}}})$=(  )
A.4026B.4028C.4030D.4032

分析 运用等比数列的通项公式和等差数列的定义,求得q=1,进而得到所求和.

解答 解:数列{an}是首项为1,公比为q(q≠-1)的等比数列,
可得an=qn-1
由$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+{a_{n+1}}}}}\right\}$是等差数列,
即$\frac{1}{{q}^{n-1}(1+q)}$-$\frac{1}{{q}^{n-2}(1+q)}$为常数,
可得q=1,即an=1,$\frac{1}{{a}_{n}}$=1,
即有$(\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3})+(\frac{1}{a_3}+\frac{1}{a_4})+…+(\frac{1}{{{a_{2015}}}}+\frac{1}{{{a_{2016}}}})$=2×2014=4028.
故选:B.

点评 本题考查等比数列的通项公式和等差数列的定义,考查运算能力,属于中档题.

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