Question

7．已知i是增数单位，若$\frac{a+i}{2-i}$是纯虚数，则|$\frac{1}{2}+\frac{a+i}{2-i}$|=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． 1
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用复数代数形式的乘除运算化简，结合$\frac{a+i}{2-i}$是纯虚数求得a值，再代入|$\frac{1}{2}+\frac{a+i}{2-i}$|得答案．

解答 解：∵$\frac{a+i}{2-i}$=$\frac{（a+i）（2+i）}{（2-i）（2+i）}=\frac{（2a-1）+（a+2）i}{5}$是纯虚数，
∴2a-1=0，a=$\frac{1}{2}$，
则$\frac{1}{2}+\frac{a+i}{2-i}$=$\frac{1}{2}+\frac{i}{2}$，
∴|$\frac{1}{2}+\frac{a+i}{2-i}$|=|$\frac{1}{2}+\frac{i}{2}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．