Question

已知向量

a

=（cos

3

x，sin

3

x），

b

=（cosx，sinx）（0＜x＜π）．设函数f（x）=

a

•

b

，且f（x）+f'（x）为偶函数．
（1）求x的值；
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）首先利用向量求得f（x），然后求出函数f（x）的导数，进而表示出f（x）+f'（x），再根据偶函数的定义求出结果；
（2）由（1）得出f（x）=cos（

3

x-

π

3

），再由余弦的单调性求出增区间即可．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=cos

3

xcos?+sin

3

xsin?=cos（

3

x-?），
所以f（x）+f'（x）=cos（

3

x-?）-

3

sin（

3

x-?）=2cos（

3

x-?+

π

3

），
而f（x）+f'（x）为偶函数，则有-?+

π

3

=kπ，k∈Z，又0＜?＜π，则k=0，即?=

π

3

．
（2）由（1）得f（x）=cos（

3

x-

π

3

），由2kπ-π≤

3

x-

π

3

≤2kπ，
解得

1

3

（2kπ-

2π

3

）≤x≤

1

3

（2kπ+

π

3

），
即此函数的单调增区间为[

2 3

3

kπ-

2 3

9

π，

2 3

3

kπ+

3

9

π]（k∈Z）．

点评：本题考查了三角函数的化简、余弦的单调性以及偶函数的定义，平时要牢记三角函数的奇偶性和单调性，属于基础题．