Question

已知数列{a_n}的通项a_n=（n+1）（

10

11

）ⁿ（n∈N）．试问该数列{a_n}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项数；若没有，说明理由．

Answer 1

分析：要想判断一个数列有无最大项，可以判断数列的单调性，如果数列的前n项是递增的，从n+1项开始是递减的，则a_n（a_n+1）即为数列的最大项，故我们可以判断构造a_n+1-a_n的表达式，然后进行分类讨论，给出最终的结论．

解答：解：∵a_n+1-a_n=（n+2）（

10

11

）ⁿ⁺¹-（n+1）（

10

11

）ⁿ
=（

10

11

）ⁿ•

9-n

11

，
∴当n＜9时，a_n+1-a_n＞0，即a_n+1＞a_n；
当n=9时，a_n+1-a_n=0，即a_n+1=a_n；
当n＞9时，a_n+1-a_n＜0，即a_n+1＜a_n；
故a₁＜a₂＜a₃＜＜a₉=a₁₀＞a₁₁＞a₁₂＞…．
∴数列{a_n}有最大项a₉或a₁₀，
其值为10•（

10

11

）⁹，其项数为9或10．

点评：判断数列的最大（小）项，即判断a_n+1-a_n的符号在何处变号，
若n＜K时，a_n+1-a_n＞0成立，n≥K时，a_n+1-a_n＜0成立，则a_K即为数列中的最小项；
若n＜K时，a_n+1-a_n＜0成立，n≥K时，a_n+1-a_n＞0成立，则a_K即为数列中的最大项．