Question

重庆Z中学为筹备参加“汉字听写比赛”，对初二年级的400名同学进行了一次模拟听写比赛．每位同学听写150个字，听写正确130个字以上（含130个）的同学才可以参加市级决赛．据统计，该年级同学在摸底听写比赛中听写正确的字数的频率分布直方图如图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，该校可以参加市级决赛的同学有多少人？假设同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估算这400名同学平均听写正确的字数；
（Ⅱ）重庆Z中学在可以参加市级决赛的同学中派1人参加市级决赛，按决赛规定：每人最多有5次听写机会，累计听写正确3个字或听写错误3个字即终止．设参加决赛的这名同学每个字听写正确的概率相同，且相互独立，若该同学连续两次听写错误的概率是

1

9

，求该同学在决赛中听写正确的字数X的分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由频率分布直方图能求出可以参加市级比赛的人数和这400人平均听写正确的字数．
（Ⅱ）设该同学每次听写正确的概率为p，则连续两次错误的概率为(1-p)2=

1

9

，解得p=

2

3

，他在最多五次听写机会中听写正确的字数X是一个随机变量，X的可能取值为：0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，
听写正确130个字以上（含130个）的人数为：0.0025×20×400=20人，
∴可以参加市级比赛的人数为20．
这400人平均听写正确的字数为：
（0.00125×40+0.0015×60+0.00925×80+0.0245×100+0.011×120+0.0025×140）×20=100；…（6分）
（Ⅱ）设该同学每次听写正确的概率为p，
则连续两次错误的概率为(1-p)2=

1

9

，解得p=

2

3

，
他在最多五次听写机会中听写正确的字数X是一个随机变量，X的可能取值为：0，1，2，3，
X=0，连续3次错误，P（X=0）=(

1

3

)3=

1

27

，
X=1，第四次错，前三次1对2错，P（X=1）=

C

1 3

(

2

3

)(

1

3

)3=

2

27

，
X=2，第五次错，前四次2对2错，P（X=2）=

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)3=

8

81

，
X=3，前三次对；或第四次对前三次2对1错；或第五次对前四次2对2错，
P（X=3）=(

2

3

)3+

C

1 3

(

2

3

)3(

1

3

)+

C

2 4

(

2

3

)3(

1

3

)2=

64

81

，
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 27	2 27	8 81	64 81

数学期望为E(X)=

6+16+192

81

=

214

81

．   …（13分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．