Question

已知f(x)=

a

•

b

，其中

a

=(sin2x，-

3

)，

b

=(1，cos2x)．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）f（x）的图象可由正弦函数的图象经过怎样的变换得到？

Answer 1

分析：（1）由向量的坐标运算可求得f（x）=

a

•

b

=2sin（2x-

π

3

），从而可求得其周期；
（2）由正弦函数的单调性可由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z求得f（x）的单调递增区间；
（3）利用三角函数的图象变换规律，可先进行相位变换，再进行周期变换，最后进行振幅变换即可．

解答：解：（1）∵

a

=（sin2x，-

3

），

b

=（1，cos2x），
∴f（x）=

a

•

b

=sin2x-

3

cos2x=2sin（2x-

π

3

），
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z得：
kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（3）y=sinx

图象上所有的点向右平移 π 3 个单位

y=sin（x-

π

3

）

图象上所有点的横坐标变为原来的 1 2 (纵坐标不变)

y=sin（2x-

π

3

）

图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)

y=2sin（2x-

π

3

）．

点评：本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查三角函数的周期性及其求法，考查正弦函数的单调性及三角函数的图象变换，属于中档题．