Question

已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求证：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅲ）求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，根据三角形中位线定理，得到四边形FGBE为平行四边形，进而得到EF∥BG，再结合线面平行的判定定理得到EF∥面ABC；
（Ⅱ）根据已知中△ABC为等边三角形，G为AC的中点，DC⊥面ABC得到BG⊥AC，DC⊥BG，根据线面垂直的判定定理得到BG⊥面ADC，则EF⊥面ADC，再由面面垂直的判定定理，可得面ADE⊥面ACD；
（Ⅲ）方法一：四棱锥四棱锥A-BCDE分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC，分别求出三棱锥E-ABC和E-ADC的体积，即可得到四棱锥A-BCDE的体积．
方法二：取BC的中点为O，连接AO，可证AO⊥平面BCDE，即AO为V_A-BCDE的高，求出底面面积和高代入棱锥体积公式即可求出四棱锥A-BCDE的体积．

解答：证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，
∵F，G分别是AD，AC的中点 
∴FG∥CD，且FG=

1

2

DC=1．
∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等
∴EF∥BG．      
EF?面ABC，BG?面ABC
∴EF∥面ABC…（4分）
（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形∴BG⊥AC
又∵DC⊥面ABC，BG?面ABC∴DC⊥BG
∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC，
∴BG⊥面ADC．                          …（6分）
∵EF∥BG
∴EF⊥面ADC
∵EF?面ADE，∴面ADE⊥面ADC．  …（8分）
解：（Ⅲ）
方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC．
VA-BCDE=VE-ABC+VE-ACD=

1

3

×

3

4

×1+

1

3

×1×

3

2

=

3

12

+

3

6

=

3

4

．…（12分）
方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，
∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，
∴AO为V_A-BCDE的高，AO=

3

2

，SBCDE=

(1+2)×1

2

=

3

2

，∴VA-BCDE=

1

3

×

3

2

×

3

2

=

3

4

．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线面平行或垂直的判定、性质、定义、几何特征是解答此类问题的关键．