Question

15．实数x，y满足y=2x²-4x+1，（0≤x≤1），则$\frac{y-2}{x-2}$的最大值为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 先将函数化简，再利用换元法，进而可确定函数在定义域内为单调增函数，从而可求函数的最大值．

解答 解：∵y=2x²-4x+1，（0≤x≤1），
∴$\frac{y-2}{x-2}$=$\frac{2{x}^{2}-4x-1}{x-2}$
令x-2=t（-2≤t≤-1），则x=t+2
∴$\frac{y-2}{x-2}$=$\frac{{2t}^{2}+4t-1}{t}$=2t+4-$\frac{1}{t}$，
设f（t）=2t-$\frac{1}{t}$+4，f′（t）=2+$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴函数在[-2，-1]上，函数为增函数
∴t=-1时，函数取得最大值f（-1）=3；
故选：B．

点评 本题重点考查函数的最值，考查函数的单调性，考查换元法的使用，有一定的综合性．