Question

广东省某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

家电名称	空调机	彩电	冰箱
工时	1 2	1 3	1 4
产值/千元	4	3	2

问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）

Answer 1

分析：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，且总产值A=4x+3y+2z．建立三元一次方程组，由于每周冰箱至少生产20台即z≥20，结合生产空调器、彩电、冰箱共120台算出出10≤x≤40，利用一次函数的单调性即可求得产值A的最大值，进而可得相应的x、y、z的值．

解答：解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台，
根据题意可得，总产值为A=4x+3y+2z．
x、y、z满足

x+y+z=120 1 2 x+ 1 3 y+ 1 4 z=40 z≥20

（x、y、z∈N^*）
∵z=120-x-y=160-2x-

4

3

y
∴消去z，可得y=120-3x，进而得到z=2x
因此，总产值为A=4x+3y+2z=4x+3（120-3x）+4x=360-x
∵z=2x≥20，且y=120-3x≥0
∴x的取值范围为x∈[10，40]
根据一次函数的单调性，可得A=360-x∈[320，350]
由此可得当x=10，y=90，z=20时，产值A达到最大值为350千元．
答：生产空调机10台、彩电90台、冰箱20台时，可使产值达最大值，最大产值为350千元．

点评：本题给出实际应用问题，求工厂生产总值的最大化的问题，着重考查了三元一次方程组的处理、一次函数的单调性和简单线性规划的应用等知识点，属于中档题．