Question

（2013•醴陵市模拟）已知等差数列{a_n}满足：a₂=5，a₄+a₆=22．{a_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求a_n 及S_n；
（Ⅱ）若f（x）=

1

x2-1

，b_n=f（a_n）（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在等差数列{a_n}中，由a₂=5，a₄+a₆=22，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组，求出首项和公差，由此能求出a_n 及S_n．
（Ⅱ）由f（x）=

1

x2-1

，b_n=f（a_n），知bn=

1

an2-1

，由a_n=2n+1，知bn=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项和．

解答：（本小题满分13分）
解．（Ⅰ）设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d
∵a₂=5，a₄+a₆=22，
∴

a1+d=5 2a1+8d=22

，…（2分）
解得a₁=3，d=2，…（4分）
∴a_n=2n+1，Sn=n2+2n．…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=

1

x2-1

，b_n=f（a_n），
∴bn=

1

an2-1

，…（7分）
∵a_n=2n+1，∴an2-1=4n(n+1)，
∴bn=

1

4n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)，…（9分）
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）…（11分）
=

1

4

（1-

1

n+1

）=

n

4(n+1)

，
所以数列{b_n}的前n项和T_n=

n

4(n+1)

．…（13分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意裂项求和法的合理运用．