【题目】如图,在四棱锥中,底面为矩形,平面平面,.
(1)证明:平面平面;
(2)若,为棱的中点,,,求四面体的体积.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)由面面垂直的性质定理得到⊥平面,即,进而得到平面平面,(2)由等体积法求解,。
详解:(1)证明:∵四边形是矩形,∴CD⊥BC.
∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,CD平面ABCD,
∴CD⊥平面PBC,∴CD⊥PB.
∵PB⊥PD,CD∩PD=D,CD、PD平面PCD,∴PB⊥平面PCD.
∵PB平面PAB,∴平面PAB⊥平面PCD.
(2)取BC的中点O,连接OP、OE.
∵平面,∴,∴,
∵,∴.
∵平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO平面PBC,
∴PO⊥平面ABCD,∵AE平面ABCD,∴PO⊥AE.∵∠PEA=90O, ∴PE⊥AE.
∵PO∩PE=P,∴AE⊥平面POE,∴AE⊥OE.
∵∠C=∠D=90O, ∴∠OEC=∠EAD,
∴,∴.
∵,,,∴,
.
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【题目】保险公司统计的资料表明:居民住宅区到最近消防站的距离x(单位:千米)和火灾所造成的损失数额y(单位:千元)有如下的统计资料:
距消防站距离x(千米) | 1.8 | 2.6 | 3.1 | 4.3 | 5.5 | 6.1 |
火灾损失费用y(千元) | 17.8 | 19.6 | 27.5 | 31.3 | 36.0 | 43.2 |
如果统计资料表明y与x有线性相关关系,试求:
(Ⅰ)求相关系数(精确到0.01);
(Ⅱ)求线性回归方程(精确到0.01);
(III)若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距10.0千米,评估一下火灾的损失(精确到0.01).
参考数据:,,,
,,
参考公式:相关系数 ,回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,
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【题目】如图,在底面是菱形的四棱锥中,,,,点在上,且.
(1)证明:平面;
(2)求以为棱,与为面的二面角的大小
(3)在棱上是否存在一点,使平面?证明你的结论.
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【题目】某班有学生50人,其中男同学30人,用分层抽样的方法从该班抽取5人去参加某社区服务活动.
(1)求从该班男女同学在各抽取的人数;
(2)从抽取的5名同学中任选2名谈此活动的感受,求选出的2名同学中恰有1名男同学的概率.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是正方形.点是棱的中点,平面与棱交于点.
(1)求证:;
(2)若,且平面平面,试证明平面;
(3)在(2)的条件下,线段上是否存在点,使得平面?(直接给出结论,不需要说明理由)
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【题目】若对任意, 有唯一确定的与之对应,则称为关于, 的二元函数,现定义满足下列性质的为关于实数, 的广义“距离”.
()非负性: ,当且仅当时取等号;
()对称性: ;
()三角形不等式: 对任意的实数均成立.
给出三个二元函数:①;②;③,
则所有能够成为关于, 的广义“距离”的序号为__________.
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