【题目】已知为椭圆的右焦点, 为上的任意一点.
(1)求的取值范围;
(2)是上异于的两点,若直线与直线的斜率之积为,证明: 两点的横坐标之和为常数.
【答案】(1) .(2)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)法一:设的坐标为,利用两点之间的距离公式化简即可求得范围;法二:运用三角函数换元设点的坐标为利用两点之间距离公式计算出范围(2)法一:设直线斜率分别为,联立直线方程与曲线方程,利用根与系数之间关系,再由,计算得;法二:设直线的斜率分别为,计算得,由,得,即,证得的中点在上,同理可证的中点在上,即说明两点的横坐标之和为常数
解析:解法一:(1)依题意得,所,
所以的右焦点坐标为,
设上的任意一点的坐标为,
则,
所以
,
又因为,所以,
所以,
所以的取值范围为.
(2)设三点坐标分别为,
设直线斜率分别为,则直线方程为,
由方程组消去,得
,
由根与系数关系可得,
故,
同理可得,
又,
故 ,
则 ,
从而.
即两点的横坐标之和为常数.
解法二:(1)依题意得,所,
所以的右焦点坐标为,
设上的任意一点的坐标为,
设上的任意一点的坐标为,
则,
又因为,所以,
所以,
所以的取值范围为.
(2)设两点坐标分别为,线段的中点分别为,点的坐标为,直线的斜率分别为,
由方程组得,
所以,
所以,
所以,
又因为,
所以,
所以,
所以的中点在上,
同理可证: 的中点在上,
所以点为线段的中点.
根据椭圆的对称性,
所以两点的横坐标之和为常数.
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【题目】中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米.
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元,若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求的取值范围.
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【题目】已知二次函数满足以下两个条件:①不等式的解集是②函数在上的最小值是3.
(Ⅰ)求的解析式;
(Ⅱ)若点在函数的图象上,且.
(ⅰ)求证:数列为等比数列
(ⅱ)令,是否存在正实数,使不等式对于一切的恒成立?若存在,指出的取值范围;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知为椭圆的左右焦点,点为其上一点,且有
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过的直线与椭圆交于两点,过与平行的直线与椭圆交于两点,求四边形的面积的最大值.
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【题目】某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为米,圆心角为(弧度).
(1)求关于的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为,求关于的函数关系式,并求出为何值时, 取得最大值?
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