Question

18．如图，在平面直角坐标系xoy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（1）若点A的纵坐标是$\frac{4}{5}$，点B的纵坐标是$\frac{12}{13}$，求sin（α+β）的值；
（2）若$|\overrightarrow{AB}|=\frac{3}{2}$，求$|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}|$的值．

Answer 1

分析 （1）由任意角的三角函数的定义和两角和的正弦公式，计算即可得到所求；
（2）运用向量的数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到．

解答 解：（1）由三角函数的定义得，$sinα=\frac{4}{5}$，$sinβ=\frac{12}{13}$．
由角α、β的终边分别在第一和第二象限，
所以$cosα=\frac{3}{5}$，$cosβ=-\frac{5}{13}$，
所以$sin（{α+β}）=sinαcosβ+cosαsinβ=\frac{16}{65}$；
（2）$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}|$，
则有$|\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}{|^2}={\overrightarrow{OB}^2}-2\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}+{\overrightarrow{OA}^2}=2-2\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}$，
又$|\overrightarrow{AB}|=\frac{3}{2}$，
故$2-2\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}=\frac{9}{4}$，
得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-\frac{1}{8}$，
$|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}{|^2}={\overrightarrow{OA}^2}+4\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+4{\overrightarrow{OB}^2}=5+4\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OA}=\frac{9}{2}$，
即$|\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}|$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查向量向量的数量积的性质和运用，同时考查任意角三角函数的定义和两角和的正弦公式的运用，属于中档题．