Question

【题目】如图，四棱锥A﹣BCDE中，AB、BC、BE两两垂直且AB＝BC＝BE，DE∥BC，DE＝2BC，F是AE的中点．

（1）求证：BF∥面ACD；

（2）求证：面ADE⊥面ACD．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

（1）取AD的中点M，连接CM、MF，推导出四边形BCMF为平行四边形，从而CM∥BF，由此能证明BF∥面ACD．

（2）作DE中点N，连接CN，推导出CM⊥AD，BF⊥AE，CM⊥AE，由此能证明面ADE⊥面ACD．

证明：（1）取AD的中点M，连接CM、MF．

∵F、M分别为AE、AD中点，∴DE∥2MF，DE=2MF

又∵DE∥2BC，DE=2BC∴FM∥BC，FM=BC，

∴四边形BCMF为平行四边形，∴CM∥BF，

又∵BF面ACD，CM面ACD，

∴BF∥面ACD．

（2）作DE中点N，连接CN，

∵DE∥2BC，DE=2BC，N为DE中点N，∴DN＝BC，

又∵AB、BC、BE两两垂直，且AB＝BC＝BE，∴AC＝CD，

∵M为AD中点，∴CM⊥AD，

又∵F是AE的中点，且AB＝BE，∴BF⊥AE，

∵CM∥BF，∴CM⊥AE，

又∵AD∩AE＝A，AE、AD面ADE，∴CM⊥面ADE，

∵CM面ACD，∴面ADE⊥面ACD．