Question

7．已知a、b为正实数，且a+b=2，则$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{b+1}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{2+2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{3+\sqrt{2}}{3}$
• C． $\frac{2+3\sqrt{2}}{3}$
• D． $\frac{6+2\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 求得a的范围为（0，2），将b用a表示，将原式化为1+$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{3-a}$=1+$\frac{1}{3}$（a+3-a）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{3-a}$），展开后运用基本不等式，即可得到最小值，注意求得等号成立的条件．

解答 解：a、b为正实数，且a+b=2，即有0＜a＜2，b=2-a，
则$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{{b}^{2}}{b+1}$=$\frac{{a}^{2}+2}{a}$+$\frac{（2-a）^{2}}{3-a}$=a+$\frac{2}{a}$+1-a+$\frac{1}{3-a}$
=1+$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{3-a}$=1+$\frac{1}{3}$（a+3-a）（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{3-a}$）
=1+$\frac{1}{3}$（3+$\frac{a}{3-a}$+$\frac{2（3-a）}{a}$）
≥2+$\frac{1}{3}$•2$\sqrt{\frac{a}{3-a}•\frac{2（3-a）}{a}}$=2+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
当且仅当$\frac{a}{3-a}$=$\frac{2（3-a）}{a}$，即a=6-3$\sqrt{2}$，b=3$\sqrt{2}$-4．取得等号．
则最小值为$\frac{6+2\sqrt{2}}{3}$．
故选D．

点评 本题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形，变量分离和转化思想和乘1法，考查运算能力，属于中档题．