Question

若曲线f（x）=x⁴+ax³+x²+x+1在点（0，1）处的切线与该曲线还切于其它点，则实数a=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：由题意求导f′（x）=4x³+3ax²+2x+1，从而可写出切线方程y=x+1，从而得到4x²+3ax+2=0与x²+ax+1=0有相同的解，从而联立方程解a．

解答： 解：∵f（x）=x⁴+ax³+x²+x+1，f′（x）=4x³+3ax²+2x+1；
∴f′（0）=1；
故切线方程为y=x+1；
又∵曲线f（x）=x⁴+ax³+x²+x+1在点（0，1）处的切线与该曲线还切于其它点，
∴f′（x）=4x³+3ax²+2x+1=1有非零解，f（x）=x⁴+ax³+x²+x+1=x+1有非零解；
且有相同的非零解；
即4x²+3ax+2=0与x²+ax+1=0有相同的解，
联立方程得，

4x2+3ax+2=0 x2+ax+1=0

；
解得，x=-1，a=2，或x=1，a=-2；
故答案为：±2．

点评：本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，属于中档题．