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1.已知f(x)=2ax-$\frac{b}{x}$+lnx在x=1与x=$\frac{1}{2}$处都取得极值.
(1)求a,b的值;
(2)若对x∈[$\frac{1}{4}$,1]时,求f(x)的单调区间.

分析 (1)求出函数的导数,计算f′(1),f′($\frac{1}{2}$),得到关于a,b的方程组,解出即可;(2)求出函数的导数,解关于导函数的方程,求出函数的单调区间即可.

解答 解:(1)∵$f(x)=2ax-\frac{b}{x}+lnx$,
∴$f'(x)=2a+\frac{b}{x^2}+\frac{1}{x}$,
∵$f(x)=2ax-\frac{b}{x}+lnx$在x=1与$x=\frac{1}{2}$处都取得极值,
∴f'(1)=0,$f'(\frac{1}{2})=0$.
∴$\left\{\begin{array}{l}2a+b+1=0\\ 2a+4b+2=0\end{array}\right.$,
即$a=b=-\frac{1}{3}$--------------(7分)
(2)由(1)可知$f(x)=-\frac{2}{3}x+\frac{1}{3x}+lnx$,
令$f'(x)=-\frac{2}{3}-\frac{1}{{3{x^2}}}+\frac{1}{x}=-\frac{(2x-1)(x-1)}{{3{x^2}}}=0$,
得x=1或$x=\frac{1}{2}$,
∵$x∈[\frac{1}{4},1]$,
∴f(x)在$[\frac{1}{4},\frac{1}{2}]$上单调递减,在$[\frac{1}{2},1]$上单调递增.-------------(12分)

点评 本题考查了函数的极值的应用,考查导数的应用以及函数的单调性问题,是一道中档题.

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