Question

（2012•辽宁）选修4-5：不等式选讲
已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若|f(x)-2f(

x

2

)|≤k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先解不等式|ax+1|≤3，再根据不等式f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}，分类讨论，即可得到结论．
（Ⅱ）记h(x)=f(x)-2f(

x

2

)，从而h（x）=

1，x≤-1 -4x-3，-1＜x＜- 1 2 -1，x≥- 1 2

，求得|h（x）|≤1，即可求得k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2
∵不等式f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．
∴当a≤0时，不合题意；
当a＞0时，-

4

a

≤x≤

2

a

，∴a=2；
（Ⅱ）记h(x)=f(x)-2f(

x

2

)，∴h（x）=

1，x≤-1 -4x-3，-1＜x＜- 1 2 -1，x≥- 1 2

∴|h（x）|≤1
∵|f(x)-2f(

x

2

)|≤k恒成立，∴k≥1．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．