Question

【题目】函数， .（1）讨论的极值点的个数；（2）若对于，总有.（i）求实数的取值范围；（ii）求证：对于，不等式成立.

Answer 1

【答案】（1）当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点. （2）①②见解析

【解析】试题分析：（1）先求函数导数，转化为研究二次函数实根分布：当，导函数不变号，无极值；当，分时，两个正根，有两个极值点； 时，两个负根，无极值点（2）①不等式恒成立问题利用变量分离转化为对应函数最值问题： ，再利用导数研究函数单调性，并得最小值，即得实数的取值范围；②由①转化证明，利用导数研究函数单调性，可得

试题解析： 解：由题意得 ，令，

（1）当，即时， 对恒成立，

即对恒成立，此时没有极值点；

（2）当，即或，

①时，设方程两个不同实根为，不妨设，

则， ，故，

或时， ；在时，

故是函数的两个极值点.

②时，设方程两个不同实根为，

则， ，故， ，

时， ；故函数没有极值点.

综上，当时，函数有两个极值点；

当时，函数没有极值点.

（2）① ， 在 单调递减，在 单调递增，所以

②只需证明 易得在 单调递减，在 单调递增， ，得证.