Question

【题目】设f（x）=x3+ax2+bx+1的导函数f′（x）满足f′（x）=2a，f′（2）=﹣b，
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设g（x）=f′（x）ex ， 求函数g（x）的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以f'（x）=3x2+2ax+b．

令x=1得f'（1）=3+2a+b．

由已知f'（1）=2a，所以3+2a+b=2a．解得b=﹣3．

又令x=2得f'（2）=12+4a+b．

由已知f'（2）=﹣b，所以12+4a+b=﹣b，解得a=﹣ ．

所以f（x）=x3﹣ x2﹣3x+1，f（1）=﹣ ．

又因为f′（1）=﹣3，

故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（﹣ ）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0

（2）解：g（x）=f′（x）ex=（3x2﹣3x﹣3）ex，∴g′（x）=3（x﹣1）（x+2）ex，

由g′（x）＞0，可得x＜﹣2或x＞1，函数的单调递增区间是（﹣∞，﹣2），（1，+∞）

由g′（x）＜0，可得﹣2＜x＜1，函数的单调递增区间是（﹣2，1）

【解析】（1）根据已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我们根据求函数导函数的公式，易求出导数f'（x），结合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，计算出参数a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入点斜式方程，即可得到曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求导数，利用导数的正负，可得函数g（x）的单调区间．
【考点精析】认真审题，首先需要了解利用导数研究函数的单调性(一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减)．