Question

已知数列{a_n}前n项和为S_n，满足S_n=n²a_n-n²（n-1），a₁=

1

2

．
（1）令b_n=

n+1

n

S_n，证明：b_n-b_n-1=n（n≥2）；
（2）在问题（1）的条件下求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=n²a_n-n²（n-1），且a₁=

1

2

，用迭代法能求出（n²-1）S_n=n2Sn-1+n2(n-1)，再由b_n=

n+1

n

S_n，能确定b_n与b_n-1（n≥2）的关系；
（2）由（1）知b_n-b₁=n+（n-1）+…+2=

n(n+1)

2

-1，故bn=

n(n+1)

2

，由此求出S_n，从而能求出{a_n}的通项公式．

解答： （1）证明：∵S_n=n²a_n-n²（n-1），且a₁=

1

2

，
∴当n≥2时，有a_n=S_n-S_n-1，
∴Sn=n2(Sn-Sn-1)-n²（n-1），
即（n²-1）S_n=n2Sn-1+n2(n-1)，
∵b_n=

n+1

n

S_n，∴Sn=

n

n+1

bn，
则(n2-1)•

n

n+1

bn=n2•

n-1

n

bn-1+n2(n-1)
化简得：b_n-b_n-1=n；
（2）由（1）知
b_n-b₁=n+（n-1）+…+2=

n(n+1)

2

-1，
b₁=2S₁=1，
∴bn=

n(n+1)

2

，
∴Sn=

n

n+1

bn=

n

n+1

•

n(n+1)

2

=

n2

2

，
∴a1=S1=

1

2

，
a_n=S_n-S_n-1=

n2

2

-

(n-1)2

2

=

2n-1

2

，
当n=1时上式成立，
故an=

2n-1

2

．

点评：本题考查数列的递推公式的应用，注意迭代法和等价转化思想的灵活运用，是中档题．