Question

1．数列{a_n}满足：a_n+a_n+1-2n-3=0（n∈N^*），a₁=1．
（1）求a_n；
（2）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，a_n-n+a_n+1-n-1=2，可设b_n=a_n-n，则b_n+b_n+1=2，讨论n为奇数和偶数，即可得到所求通项；
（2）讨论n为奇数和偶数，运用分组求和，并用等差数列的求和公式，奇数即可得到所求．

解答 解：a_n+a_n+1-2n-3=0，即为
a_n-n+a_n+1-n-1=2，
可设b_n=a_n-n，
则b_n+b_n+1=2，
由b₁=a₁-1=0，
可得n为奇数时，b_n=0，
n为偶数时，b_n=2，
即为a_n=$\left\{\begin{array}{l}{n，n为奇数}\\{n+2，n为偶数}\end{array}\right.$；
（2）当n为偶数时，
前n项和S_n=（1+3+5+…+n-1）+（4+6+8+…+n+2）
=$\frac{1}{2}$n+$\frac{1}{2}$•$\frac{n}{2}$（$\frac{n}{2}$-1）•2+$\frac{n}{2}$•4+$\frac{1}{2}$•$\frac{n}{2}$（$\frac{n}{2}$-1）•2
=$\frac{1}{2}$（n²+3n）；
当n为奇数时，
前n项和S_n=S_n-1+a_n=$\frac{1}{2}$[（n-1）²+3（n-1）]+n
=$\frac{1}{2}$（n²+3n-2）．
综上可得S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（{n}^{2}+3n），n为偶数}\\{\frac{1}{2}（{n}^{2}+3n-2），n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项和求和，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．