Question

6．在平面直角坐标系xOy中，动点P（x，y）到两坐标轴的距离之和等于它到定点（1，1）的距离，记点P的轨迹为C．给出下面四个结论：
①曲线C关于原点对称；
②曲线C关于直线y=x对称；
③点（-a²，1）（a∈R）在曲线C上；
④在第一象限内，曲线C与x轴的非负半轴、y轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于$\frac{1}{2}$．
其中所有正确结论的序号是②③④．

Answer 1

分析 根据动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，可得曲线方程，作出曲线的图象，即可得到结论．

解答 解：∵动点P（x，y）到两条坐标轴的距离之和等于它到点（1，1）的距离，
∴|x|+|y|=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}}$，
∴|xy|+x+y-1=0，
若xy＞0，则xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，
∴y=$\frac{2}{x+1}-1$，函数为以（-1，-1）为中心的双曲线的一支；
若xy＜0，则xy-x-y+1=0，即（x-1）（y-1）=0，
∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．
函数的图象如图所示：
∴曲线C关于直线y=x对称；
点（-a²，1）（a∈R）在曲线C上；
曲线C与x轴非负半轴，y轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于$\frac{1}{2}$．
∴所有正确结论的序号是②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查轨迹方程，考查数形结合的数学思想方法，由已知求出轨迹方程，正确作出函数图象是解题的关键，是中档题．