Question

已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且b²+c²=a²+bc，求：
（1）2sinBcosC-sin（B-C）的值；
（2）若a=2，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据余弦定理表示出cosA，把已知得等式变形后代入即可求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，然后把所求的式子利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，将sinA的值代入即可求出值；
（2）由a=2和sinA的值，根据正弦定理表示出b和c，代入三角形的周长a+b+c中，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域即可得到周长的最大值．

解答：解：（1）∵b²+c²=a²+bc，∴a²=b²+c²-bc，
结合余弦定理知cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+c2-(b2+c2-bc)

2bc

=

1

2

，
又A∈（0，π），∴A=

π

3

，
∴2sinBcosC-sin（B-C）=sinBcosC+cosBsinC
=sin（B+C）=sin[π-A]=sinA=

3

2

；
（2）由a=2，结合正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2

3 2

=

4 3

3

，
∴b=

4 3

3

sinB，c=

4 3

3

sinC，
则a+b+c=2+

4 3

3

sinB+

4 3

3

sinC
=2+

4 3

3

sinB+

4 3

3

sin（

2π

3

-B）
=2+2

3

sinB+2cosB=2+4sin（B+

π

6

），
可知周长的最大值为6．

点评：此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题．