【题目】已知坐标平面上动点与两个定点, ,且.
(1)求点的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;
(2)记(1)中轨迹为,过点的直线被所截得的线段长度为8,求直线的方程.
【答案】(1),轨迹是以为圆心,以5为半径的圆;(2)直线的方程为或.
【解析】试题分析:(1)根据题意,分析可得,对其化简整理变形可得,由圆的标准方程即可得答案;
(2)分两种情况讨论:①当直线l的斜率不存在,②当直线l的斜率存在时,每种情况下先设出直线的方程,利用直线l被C所截得的线段长度为8,可得关于k的方程,解可得k的值,综合即可得答案.
试题解析:
(Ⅰ)由题意,得,即: ,
化简,得: ,
所以点的轨迹方程是.
轨迹是以为圆心,以5为半径的圆.
(Ⅱ)当直线的斜率不存在时, ,
此时所截得的线段的长为.
所以符合题意.
当直线的斜率存在时,设的方程为,
即,圆心到的距离,
由题意,得,解得.
所以直线的方程为,
即.综上,直线的方程为或.
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【题目】如图所示为一正方体的平面展开图,在这个正方体中,有下列四个命题:
①AF⊥GC;
②BD与GC成异面直线且夹角为60;
③BD∥MN;
④BG与平面ABCD所成的角为45.
其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图1, 在直角梯形中, , , , 为线段的中点. 将沿折起,使平面 平面,得到几何体,如图2所示.
(1)求证: 平面;
(2)求二面角的余弦值.
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【题目】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列;
(2)若要求P(X≤n)≤0.5,确定n的最小值;
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
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【题目】设S是实数集R的非空子集,若对任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,则称S为封闭集.下列命题:①集合S={a+b|a,b为整数}为封闭集;②若S为封闭集,则一定有0∈S;③封闭集一定是无限集;④若S为封闭集,则满足STR的任意集合T也是封闭集.其中真命题是________.(写出所有真命题的序号)
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