Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁，AB⊥BC．点M，N分别是CC₁，B₁C的中点，G是棱AB上的动点．
（Ⅰ）求证：B₁C⊥平面BNG；
（Ⅱ）若CG∥平面AB₁M，试确定G点的位置，并给出证明．

Answer 1

解：（I）：∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁=BB₁，点N是B₁C的中点，
∴BN⊥B₁C…（1分）
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BB₁∩BC=B
∴AB⊥平面B₁BCC₁…（3分）
∵B₁C?平面B₁BCC₁
∴B₁C⊥AB，即B₁C⊥GB…（5分）
又∵BN∩BG=B，BN、BG?平面BNG
∴B₁C⊥平面BNG…（6分）
（II）当G是棱AB的中点时，CG∥平面AB₁M．…（7分）
证明如下：
连接AB₁，取AB₁的中点H，连接HG、HM、GC，
则HG为△AB₁B的中位线
∴GH∥BB₁，GH=BB₁…（8分）
∵由已知条件，B₁BCC₁为正方形
∴CC₁∥BB₁，CC₁=BB₁
∵M为CC₁的中点，
∴…（11分）
∴MC∥GH，且MC=GH
∴四边形HGCM为平行四边形
∴GC∥HM…（12分）
又∵GC?平面AB₁M，HM?平面AB₁M，
∴CG∥平面AB₁M…（14分）
分析：（I）由直三棱柱的性质结合AB⊥BC，得AB⊥平面B₁BCC₁，从而B₁C⊥GB，在等腰△BB₁C中，利用中线BN⊥B₁C，根据线面垂直的判定定理，得到B₁C⊥平面BNG．
（II）当G是棱AB的中点时，CG∥平面AB₁M．连接AB₁，取AB₁的中点H，连接HG、HM、GC，用三角形中位线定理，得到GH∥BB₁且GH=BB₁，在正方形B₁BCC₁中证出MC∥BB₁且MC=BB₁，所以GH与MC平行且相等，得到四边形HGCM为平行四边形，GC∥HM，最后结合线面平行的判定定理，得到CG∥平面AB₁M．
点评：本题给出一个侧面是正方形的直三棱柱，求证线面垂直并探索线面平行的存在性，考查了线面垂直的判定与性质、线面平行的判定定理等知识，属于中档题．