精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知直线l:
x=2+t
y=1-at
(t为参数),与椭圆x2+4y2=16交于A、B两点.
(1)若A,B的中点为P(2,1),求|AB|;
(2)若P(2,1)是弦AB的一个三等分点,求直线l的直角坐标方程.
分析:(1)设出直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理及弦AB的中点坐标为P(2,1),求出斜率,即可求得直线AB的方程.
(2)根据P(2,1)是弦AB的一个三等分点,得到|AP|=
1
2
|PB|,从而得出
1+a2
|t1|=2
1+a2
|t2|,⇒t1=-2t2,再利用(1)中得到的方程结合韦达定理解得a的值,从而得出直线l的直角坐标方程.
解答:解:(1)直线l:
x=2+t
y=1-at
代入椭圆方程,
整理得(4a2+1)t2-4(2a-1)t-8=0
设A、B对应的参数分别为t1、t2,则t1+t2=
4(2a-1)
4a2+1
,t1t2=
-8
4a2+1

∵A,B的中点为P(2,1),∴t1+t2=0
解之得a=
1
2
,∴t1t2=-4,∵|AP|=
12+(-
1
2
)2
|t1|
=
5
2
|t1|,|BP|=
5
2
|t2|,
∴|AB|=
5
2
(|t1|+|t1|)=
5
2
×
(t1+t2)2-4t1t2
=2
5

(2)P(2,1)是弦AB的一个三等分点,∴|AP|=
1
2
|PB|,
1+a2
|t1|=2
1+a2
|t2|,⇒t1=-2t2
∴t1+t2=-t2=
4(2a-1)
4a2+1
,t1t2=-2t
 
2
2
=
-8
4a2+1

∴t
 
2
2
=
4
4a2+1
,∴
16(2a-1)2
(4a2+1)2
=
4
4a2+1
,解得a=
7
6

∴直线l的直角坐标方程y-1=
7
6
(x-2).
点评:本题考查直线与椭圆的综合,考查弦中点问题,解题的关键是直线方程代入椭圆方程,利用韦达定理求解.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线l:x=-2,l与x轴交于点A,动点M(x,y)到直线l的距离比到点F(1,0)的距离大1.
(Ⅰ)求点M的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过点A作直线交曲线E于B,C两点,若
AB
=2
BC
,求此直线的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆D:x2+
y2
b2
=1(0<b<1)
的左焦点为F,其左右顶点为A、C,椭圆与y轴正半轴的交点为B,△FBC的外接圆的圆心P(m,n)在直线x+y=0上.
(Ⅰ)求椭圆D的方程;
(Ⅱ)已知直线l:x=-
2
,N是椭圆D上的动点,NM⊥l,垂足为M,是否存在点N,使得△FMN为等腰三角形?若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线l:
x=2+t
y=-2-t
(t为参数)与圆C:
x=2cosθ+1
y=2sinθ
(θ为参数),则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是(  )
A、
π
4
,(1,0)
B、
π
4
,(-1,0)
C、
4
,(1,0)
D、
4
,(-1,0)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2013届云南大理宾川四中高二1月月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知直线l:  y=x-2 与抛物线y2=2x相交于两点A、B,

(1)求证:OA⊥OB

(2)求线段AB的长度

 

查看答案和解析>>

同步练习册答案