Question

(13分)一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植绿色灌木，周围的圆环分为n(n≥3，n∈N)等份，种植红、黄、蓝三色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花.
⑴ 如图1，圆环分成的3等份为a₁，a₂，a₃，有多少不同的种植方法？
如图2，圆环分成的4等份为a₁，a₂，a₃，a₄，有多少不同的种植方法？
⑵ 如图3，圆环分成的n等份为a₁，a₂，a₃，……，a_n，有多少不同的种植方法？

Answer 1

)⑴如图1，先对a₁部分种植，有3种不同的种法，再对a₂、a₃种植，
因为a₂、a₃与a₁不同颜色，a₂、a₃也不同。 所以S（3）=3×2=6（种）。
如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种）。
⑵

本试题主要考查了排列组合的运用，解决实际问题，同时也考查了数列的求和的运用，数列的概念的综合试题。
（1）先对a₁部分种植，有3种不同的种法，再对a₂、a₃种植，
因为a₂、a₃与a₁不同颜色，a₂、a₃也不同。 所以S（3）=3×2=6（种）。………3分
如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种）
（2）圆环分为n等份，对a₁有3种不同的种法，对a₂、a₃、…、a_n都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a₁与a_i（i=2、3、……、n－1）不同颜色，但不能保证a₁与a_n不同颜色.
于是一类是a_n与a₁不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种. 另一类是a_n与a₁同色的种法，这时可以把a_n与a₁看成一部分，这样的种法相当于对n－1部分符合要求的种法，记为.共有3×2^n－1种种法
因此可得到，进而分析求解。
)⑴如图1，先对a₁部分种植，有3种不同的种法，再对a₂、a₃种植，
因为a₂、a₃与a₁不同颜色，a₂、a₃也不同。 所以S（3）=3×2=6（种）。………3分
如图2，S（4）=3×2×2×2－S（3）=18（种）。………………………………………6分
⑵如图3，圆环分为n等份，对a₁有3种不同的种法，对a₂、a₃、…、a_n都有两种不同的种法，但这样的种法只能保证a₁与a_i（i=2、3、……、n－1）不同颜色，但不能保证a₁与a_n不同颜色.
于是一类是a_n与a₁不同色的种法，这是符合要求的种法，记为种. 另一类是a_n与a₁同色的种法，这时可以把a_n与a₁看成一部分，这样的种法相当于对n－1部分符合要求的种法，记为.
共有3×2^n－1种种法.………………………………………………………………9分
这样就有.即，
则数列是首项为公比为－1的等比数列.……………10分
则
由⑴知：，∴.
∴.………………………………………………………12分
答：符合要求的不同种法有……………………………13分