Question

7．已知函数f（x）=|x+3|-|x-1|-x，$g（x）=x+\frac{8}{x}$．
（1）求解不等式：f（x）＞0；
（2）当x＞0时，f（x）+m＜g（x），且当x＜0时，f（x）+m＞g（x）恒成立，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．
（2）当x＞0时，求得f（x）+m的最大值和g（x）的最小值，根据g（x）的最小值大于f（x）+m的最大值，求得m的范围．当x＜0时，求得f（x）+m的最小值和g（x）的最大值，根据g（x）的最大值小于f（x）+m的最小值，求得m的范围．再把这两个m的范围取交集，即得所求．

解答 解：函数f（x）=|x+3|-|x-1|-x=$\left\{\begin{array}{l}{-x-4，x＜-3}\\{x+2，-3≤x≤1}\\{-x+4，x＞1}\end{array}\right.$，不等式f（x）＞0即$\left\{\begin{array}{l}{-x-4＞0}\\{x＜-3}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{x+2＞0}\\{-3≤x≤1}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{-x+4，＞0}\\{x＞1}\end{array}\right.$③．
解①求得 x＜-4，解②求得-2＜x≤1，解③求得1＜x＜4，
综上可得，不等式的解集为{x|x＜-4，或-2＜x＜4}．
（2）当x＞0时，由g（x）=x+$\frac{8}{x}$＞f（x）+m恒成立，可得g（x）=x+$\frac{8}{x}$≥2$\sqrt{8}$=4$\sqrt{2}$．
而f（x）在（0，1）上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，故f（x）的最大值为f（1）=3，
故 4$\sqrt{2}$＞3+m，求得m＜4$\sqrt{2}$-3．
故当x＜0时，f（x）+m＞g（x）恒成立，而f（x）在（-∞，-3）上单调递件，在[-3，0）上单调递增，
故f（x）的最小值为f（-3）=-1．
∵-x+$\frac{8}{-x}$≥4$\sqrt{2}$，∴g（x）=x+$\frac{8}{x}$≤-4$\sqrt{2}$，∴-1+m＞-4$\sqrt{2}$，求得m＞1-4$\sqrt{2}$．
综上可得，1-4$\sqrt{2}$＜m＜4$\sqrt{2}$-3．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，利用函数的单调性求函数的最值，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．