Question

已知函数f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2sin²x-1．
（1）求f（

π

3

）的值；
（2）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（3）说明y=f（x）的图象是如何由函数y=sinx的图象变换所得．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：化简可得f（x）=2sin（2x-

π

6

），
（1）代值计算可得f（

π

3

）=2；
（2）由周期公式可得周期为π，解不等式2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得单调递增区间；
（3）由函数图象变换的原则可得．

解答： 解：化简可得f（x）=sin（2x+

π

6

）+sin（2x-

π

6

）+2sin²x-1
=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-cos2x
=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

）
（1）代值可得f（

π

3

）=2sin（2×

π

3

-

π

6

）=2sin

π

2

=2；
（2）由周期公式可得f（x）的最小正周期为

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
∴函数f（x）的单调递增区间为：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）
（3）把函数y=sinx的图象上每一点的向右平移

π

6

个单位，
再把所得图象上的每一点的横坐标缩短到原来的

1

2

（纵坐标不变），
再把所得图象上的每一点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），
就得到函数y=f（x）的图象．

点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的周期性和单调性以及图象变换，属基础题．