Question

（理）若函数f（x）在给定区间M上存在正数t，使得对任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上的t级类增函数．给出下列命题：
①函数f（x）=3^x是 R上的1级类增函数；
②若函数f（x）=sinx+ax为[

π

2

，+∞）上的

π

3

级类增函数，则实数a的最小值为2；
③若函数f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，则实数t的取值范围为[1，+∞）．
其中正确命题的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①f（x+1）-f（x）=3^x+1-3^x=2•3^x；
②函数f（x）=sinx+ax为[

π

2

，+∞]上的

π

3

级类增函数，故运用参数分离，求出最大值，只要a不小于最大值即可；
③由f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，能导出实数t的取值范围为[1，+∞）．

解答： 解：对于①，函数f（x）=3^x，
∴f（x+1）-f（x）=3^x+1-3^x=2•3^x，
∴3^x≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
∴①正确；
对于②，f（x）=sinx+ax为[

π

2

，+∞]上的

π

3

级类增函数，
∴sin（x+

π

3

）+a（x+

π

3

）≥sinx+ax，
即sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

+ax+

π

3

a≥sinx+ax，
∴

3

2

cosx+

π

3

a≥

1

2

sinx，
当x=

π

2

时，

π

3

a≥

1

2

，a≥

3

2π

，
∴则实数a的最小值为

3

2π

，
∴②不正确；
对于③，
∵f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，
∴（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴2tx+t²-3t≥0，t≥3-2x，
由于x∈[1，+∞），则3-2x≤1，
故实数t的取值范围为[1，+∞），
∴③正确．
故正确命题的个数为2个，
故选：C

点评：本题考查命题的真假判断，考查新定义，同时考查函数的性质及应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．