Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形AC∩BD=0，AB=2，∠ABC=60°，E、F分别为棱CC₁，BB₁上的点，EC=BC=2FB，M是AE的中点．
（1） 求证：FM∥BO（2） 求三棱锥E-ABD的体积．

Answer 1

分析：（1）连接MF，MO后，由EC=BC=2FB，M是AE的中点，我们易判断出四边形OBFM为平行四边形，结合平行四边形的性质，即可得到结论．
（2）由已知中四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形AC∩BD=0，AB=2，∠ABC=60°，我们易求出棱锥E-ABD的底面△ABD的面积，将棱锥的底面面积及高代入棱锥体积公式，即可得到答案．

解答：解：如图所示，连接MF，MO
（1）∵EC=2FB，EC∥FB
∴MO是△ACE的中位线
∴2OM=CE，OM∥CE
∴OM=FM，OM∥FB
∴四边形OBFM为平行四边形
∴BO∥MF
（2）已知直四棱柱的底面是菱形，
且AB=2，∠ABC=60°
又∵EC=BC=AB
∴S_ABD=

1

2

•AB2•sin

π

3

=

3

∴三棱锥E-ABD的体积V=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，空间中直线与直线之间的位置关系，要判断空间中直线与直线之间的位置关系，可结合图形进行预判，为证明寻找思路，要求三棱锥的体积，关键是求出棱锥的底面积和高．