Question

（2012•信阳模拟）已知x=1是f(x)=2x+

b

x

+lnx的一个极值点
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）-

3

x

，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f′（x），再由x=1是f(x)=2x+

b

x

+lnx的一个极值点，得f′（1）=0，由此能求出b．
（II）由f′（x）=2-

3

x2

+

1

x

＜0，得

2x2+x-3

x2

＜0，再结合函数的定义域能求出函数的单调减区间．
（III）g（x）=f（x）-

3

x

=2x+lnx，设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x₀，y₀），故2x₀+lnx₀-5=（2+

1

x0

）（x₀-2），由此能够推导出过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．

解答：解：（Ⅰ）∵x=1是f(x)=2x+

b

x

+lnx的一个极值点，
f′（x）=2-

b

x2

+

1

x

，
∴f′（1）=0，即2-b+1=0，
∴b=3，经检验，适合题意，
∴b=3．
（II）由f′（x）=2-

3

x2

+

1

x

＜0，
得

2x2+x-3

x2

＜0，∴-

3

2

＜x＜1，
又∵x＞0（定义域），
∴函数的单调减区间为（0，1]．
（III）g（x）=f（x）-

3

x

=2x+lnx，
设过点（2，5）与曲线g（x）的切线的切点坐标为（x₀，y₀），
∴

y0-5

x0-2

=g′(x0)，
即2x₀+lnx₀-5=（2+

1

x0

）（x₀-2），
∴lnx₀+

2

x0

-5=（2+

1

x0

）（x₀-2），
∴lnx₀+

2

x0

-2=0，
令h（x）=lnx+

2

x

-2，
h′(x)=

1

x

-

2

x2

=0，∴x=2．
∴h（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∵h（

1

2

）=2-ln2＞0，h（2）=ln2-1＜0，h（e²）=

2

e2

＞0，
∴h（x）与x轴有两个交点，
∴过点（2，5）可作2条直线与曲线y=g（x）相切．

点评：本题考查实数值的求法、求函数的减区间、判断过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．