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13.某工厂有甲乙两个车间,每个车间各有3台机器.甲车间每台机器每天发生故障的概率均为$\frac{2}{5}$,乙车间3台机器每天发生故障的概率分别为$\frac{1}{5}$,$\frac{1}{5}$,$\frac{3}{5}$.若一天内同一车间的机器都不发生故障可获利2万元,恰有一台机器发生故障仍可获利1万元,恰有两台机器发生故障的利润为0万元,三台机器发生故障要亏损3万元.
(Ⅰ)求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列;
(Ⅱ)由于节能减排,甲乙两个车间必须停产一个.以工厂获得利润的期望值为决策依据,你认为哪个车间停产比较合理.

分析 (Ⅰ)乙车间每天机器发生故障的台数ξ,可以取0,1,2,3,求出相应的概率,即可求乙车间每天机器发生故障的台数的分布列;
(Ⅱ)设甲车间每台机器每天发生故障的台数η,获得的利润为X,则η~B(3,$\frac{2}{5}$),求出甲乙的期望,比较,即可得出结论.

解答 解:(Ⅰ)乙车间每天机器发生故障的台数ξ,可以取0,1,2,3,
P(ξ=0)=(1-$\frac{1}{5}$)×(1-$\frac{1}{5}$)×(1-$\frac{3}{5}$)=$\frac{32}{125}$,P(ξ=1)=C21×$\frac{1}{5}$×((1-$\frac{1}{5}$)×(1-$\frac{3}{5}$)2+(1-$\frac{1}{5}$)×$\frac{3}{5}$=$\frac{64}{125}$,
P(ξ=2)=C21×$\frac{1}{5}$×((1-$\frac{1}{5}$)×$\frac{3}{5}$+($\frac{1}{5}$)2×(1-$\frac{3}{5}$)=$\frac{26}{125}$,P(ξ=3)=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{125}$,
∴乙车间每天机器发生故障的台数ξ的分布列;

ξ0123
P$\frac{32}{125}$$\frac{64}{125}$$\frac{26}{125}$$\frac{3}{125}$
(Ⅱ)设甲车间每台机器每天发生故障的台数η,获得的利润为X,则η~B(3,$\frac{2}{5}$),
P(η=k)=${C}_{3}^{k}•(\frac{2}{5})^{k}•(1-\frac{2}{5})^{3-k}$(k=0,1,2,3),
∴EX=2P(η=0)+1×P(η=1)+0×P(η=2)-3×P(η=3)=$\frac{84}{125}$,
由(Ⅰ)得EY=2P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+0×P(ξ=2)-3×P(ξ=3)=$\frac{119}{125}$,
∵EX<EY,
∴甲车间停产比较合理.

点评 本题考查概率知识的运用,考查数学期望,考查学生的计算能力,正确求出概率是关键.

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