Question

20．已知P是圆x²+y²=4上一点，且不在坐标轴上，A（2，0），B（0，2），直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，则|AN|+2|BM|的最小值为8．

Answer 1

分析 求出直线PA，PB的方程，可得M，N的坐标，得出|AN|•|BM|为定值为8，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：设P（x₀，y₀），直线PA的方程为y=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}$x+2，令y=0得M（$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$，0）．
直线PB的方程为y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），令x=0得N（0，$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$）．
∴|AN|•|BM|=（2-$\frac{2{y}_{0}}{2-{x}_{0}}$）（2-$\frac{2{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$）=4+4×$\frac{4-2{y}_{0}-2{x}_{0}{+{x}_{0}y}_{0}}{4-2{y}_{0}-2{x}_{0}+{x}_{0}{y}_{0}}$=8，
∴|AN|+2|BM|≥2$\sqrt{2|AN|•|BM|}$=8，
故|AN|+2|BM|的最小值为8．
故答案为8．

点评 本题考查圆的方程，考查直线的方程，考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．