Question

设双曲线的中心在原点，准线平行于x轴，离心率为

5

2

，且点P（0，5）到此双曲线上的点的最近距离为2，求双曲线的方程．

Answer 1

依题意，设双曲线的方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）．
∵e=

c

a

=

5

2

，c²=a²+b²，∴a²=4b²．
设M（x，y）为双曲线上任一点，则
|PM|²=x²+（y-5）²
=b²（

y2

a2

-1）+（y-5）²
=

5

4

（y-4）²+5-b²（|y|≥2b）．
①若4≥2b，则当y=4时，
|PM|_min²=5-b²=4，得b²=1，a²=4．
从而所求双曲线方程为

y2

4

-x²=1．
②若4＜2b，则当y=2b时，
|PM|_min²=4b²-20b+25=4，
得b=

7

2

（舍去b=

3

2

），b²=

49

4

，a²=49．
从而所求双曲线方程为

y2

49

-

4x2

49

=1．