Question

【题目】如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，

（1）求证：AC⊥平面DEF；
（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AC的中点H，

∵AB=BC，∴BH⊥AC．

∵AF=3FC，∴F为CH的中点．

而E为BC的中点，∴EF∥BH．∴EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC=B，∴DE⊥平面ABC．

∵AC平面ABC，∴DE⊥AC．

而DE∩EF=E，∴AC⊥平面DEF．

（2）解：取AC中点G，以E为原点，EC为x轴，EG为y轴，ED为z轴，

建立空间直角系，设AB=BC=2，

则E（0，0，0），C（1，0，0），A（﹣1，2，0），F（ ， ，0），

B（﹣1，0，0），D（0，0， ），

=（ , ，0）， =（0，0， ），

设平面EFP的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，﹣1，0），

设平面ABD的法向量 =（a，b，c），

=（0，﹣2，0）， =（1，﹣2， ），

，取c=1，得 =（ ），

设平面DEF与平面ABD所成的锐二面角为θ，

则cosθ= = = ．

∴平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）取AC的中点H，推导出BH⊥AC，EF⊥AC，DE⊥BC，AB⊥DE，DE⊥AC．由此能证明AC⊥平面DEF．（2）取AC中点G，以E为原点，EC为x轴，EG为y轴，ED为z轴，建立空间直角系，利用向量法能求出平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面垂直的判定是解答本题的根本，需要知道一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．